具三井位能之反應擴散梯度系統的三相行波解及穩定解之變分研究

Abstract

針對 Allen-Cahn 類型的反應擴散系統，在高維度空間中我們好奇其解的非平 面結構以及多相性。我們目標是在無界區域如全平面或者⻑條狀定義域上找到此 類系統的駐波 (standing wave) 以及行波 (traveling wave) 解。 我們有兩種嘗試，第一種是利用 Γ-收斂理論，將方程式的解寫成一系列變分 問題的解，並討論其收斂性。我們假設了系統的勢 (potential) 滿足一種簡單的對 稱不變性 — 這個條件比過去部分文獻上假設的在特定對稱群下的不變性還要弱， 以及考慮勢能的低點同時也是系統的常數穩定態 (constant equilibrium)，其中相 對稱的兩點之間有唯一的相變穩定解 (stationary phase transition, 連接此兩個相 的一維方程式穩定解)。最後可以得到一個全平面上的穩定解，而前述的唯一條件 保證了最後得到的解不是常數的退化解。 另外考慮同樣的假設，並多假設了此方程之勢能中的單一相點附近是嚴格上 凹，則可以證明存在一「三相行波解」，連結此「單一相點」與前述「兩點間相變 函數的近似解」。最後根據這個解，我們考慮將⻑條狀定義域拉寬成全平面，相對 應到的解也會存在子序列收斂至一全平面解，由對行波速度的估計可以得知速度 會隨著寬度遞減至零，可知最後收斂得到的全平面解亦是一穩定解。

In this paper we aim to find standing and traveling wave solutions, i.e. w(z, y) = u(x, y, t) with z = x − ct, to the reaction-diffusion gradient system with a triple- well potential ∂tu = ∆u − ∇W(u) on an entire domain R2 or a cylindrical domain R×(−l,l). Firstly by the theory of Γ-convergence, standing wave solutions (i.e. stationary solutions) are obtained under a condition that the potential W is invariant under a simple reflection. This symmetry assumption is weaker than the invariance under a general symmetric group, which is assumed by some literatures. And also, under the same condition on symmetry, via a variational method, we can show the existence of a traveling wave solution that connects the three constant equilibria in an approximate sense on a cylindrical domain. We propose a convexity condition on one of the equilibria of W to ensure the asymptotical convergence to this equilibrium of the traveling wave solutions at z = −∞.