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http://tdr.lib.ntu.edu.tw/jspui/handle/123456789/73172
標題: | 具三井位能之反應擴散梯度系統的三相行波解及穩定解之變分研究 Variational Approaches to Three-Phase Standing and Traveling Waves of Reaction-Diffusion-Gradient Systems with a Triple-Well Potential |
作者: | Hung-Yu Chien 簡鴻宇 |
指導教授: | 陳俊全 |
關鍵字: | 反應擴散方程,行波解,三相行波解,伽馬收斂, reaction diffusion system,3-phase traveling wave solution,Gamma convergence, |
出版年 : | 2019 |
學位: | 博士 |
摘要: | 針對 Allen-Cahn 類型的反應擴散系統,在高維度空間中我們好奇其解的非平 面結構以及多相性。我們目標是在無界區域如全平面或者⻑條狀定義域上找到此 類系統的駐波 (standing wave) 以及行波 (traveling wave) 解。
我們有兩種嘗試,第一種是利用 Γ-收斂理論,將方程式的解寫成一系列變分 問題的解,並討論其收斂性。我們假設了系統的勢 (potential) 滿足一種簡單的對 稱不變性 — 這個條件比過去部分文獻上假設的在特定對稱群下的不變性還要弱, 以及考慮勢能的低點同時也是系統的常數穩定態 (constant equilibrium),其中相 對稱的兩點之間有唯一的相變穩定解 (stationary phase transition, 連接此兩個相 的一維方程式穩定解)。最後可以得到一個全平面上的穩定解,而前述的唯一條件 保證了最後得到的解不是常數的退化解。 另外考慮同樣的假設,並多假設了此方程之勢能中的單一相點附近是嚴格上 凹,則可以證明存在一「三相行波解」,連結此「單一相點」與前述「兩點間相變 函數的近似解」。最後根據這個解,我們考慮將⻑條狀定義域拉寬成全平面,相對 應到的解也會存在子序列收斂至一全平面解,由對行波速度的估計可以得知速度 會隨著寬度遞減至零,可知最後收斂得到的全平面解亦是一穩定解。 In this paper we aim to find standing and traveling wave solutions, i.e. w(z, y) = u(x, y, t) with z = x − ct, to the reaction-diffusion gradient system with a triple- well potential ∂tu = ∆u − ∇W(u) on an entire domain R2 or a cylindrical domain R×(−l,l). Firstly by the theory of Γ-convergence, standing wave solutions (i.e. stationary solutions) are obtained under a condition that the potential W is invariant under a simple reflection. This symmetry assumption is weaker than the invariance under a general symmetric group, which is assumed by some literatures. And also, under the same condition on symmetry, via a variational method, we can show the existence of a traveling wave solution that connects the three constant equilibria in an approximate sense on a cylindrical domain. We propose a convexity condition on one of the equilibria of W to ensure the asymptotical convergence to this equilibrium of the traveling wave solutions at z = −∞. |
URI: | http://tdr.lib.ntu.edu.tw/jspui/handle/123456789/73172 |
DOI: | 10.6342/NTU201901241 |
全文授權: | 有償授權 |
顯示於系所單位: | 數學系 |
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