以雙四元數求解機械臂之反向運動

Abstract

描述三維空間中物體的運動，通常是以空間中的「點」作為出發點，觀測參考點的移動情形來理解物體是如何運動；本文中我們嘗試以「線」的角度切入，也就是藉由觀察「空間向量」的變化情形來描述物體的運動，希望能從中得到一些啟發。 一旦談到「空間向量」的姿態（Orientation）變化，就不得不提到四元數（Quaternion），四元數在描述姿態的變化上有很不錯的表現。至於「空間向量」的位置變化，我們也導入克里夫（William Clifford）發明的雙四元數(Dual Quaternion)，將移動向量與四元數做運算上的整合，也就是說，針對「空間向量」移動及轉動的問題，都能一次解決。 在本文中，我們將雙四元數應用在機械手臂上。因為機械手臂本身是由一連串的連桿元件所組成，各個單獨連桿就好比是空間中各自獨立的空間向量，而桿長不會改變的特性正可對應至固定的向量長度。簡而言之，一支機械手臂的運動就如同一系列串聯在一起的空間向量彼此做相對運動。 此外，欲使機械手臂到達正確的位置及姿態，必須明確知道各個旋轉軸的角度，這時反向運動學（inverse kinematics）的學問便得派上用場。針對機械手臂的反向求解問題，本篇文章提供了一種根據雙四元數所設計出的雅可比（Jacobian）求解法，最後也會以模擬實驗來驗證演算法的正確性與精確程度。