奇數維度特殊正交群的算術不變量理論

Abstract

令 G 為一可簡約代數群、k 是一個特徵數為奇數的體、 ks 是 k 的分離封閉體,而 V 是 G 的一個表現。當我們 考慮 G(ks) 作用在 V (ks) 上的軌跡的時候,幾何不變量 理論給了我們一種分類這些軌跡的方法。然而當我們考 慮 G(k) 作用在 V (k) 上的軌跡時,我們對於這個問題並 沒有一個有系統的分類方法。在我的碩士論文裡,我研 讀了 Bhargava 跟 Gross 的論文,他們針對奇數維度特殊 正交群及它的一些表現發展了一套有系統的方法去分類 這些特殊情況的軌跡。Bhargava 與 Gross 首先把分類軌 跡的問題與伽羅瓦上同調理論做一個連結,而後利用這 個連結去發展一些新的觀點及方法分類這些特殊情況的 軌跡。

Let G be a reductive group , k be a field of odd characteris- tic with a seperable closure ks, and V be a representation of G. The geometric invariant theory deals with the classifica- tion of G(ks)-orbits on V . In this thesis, I study the paper of Bhargava and Gross that deals with the problem on the clas- sification of the G(k)-orbits on V which allows us to translate this problem into a language of Galois Cohomology. Then we deliver several approaches to solve this problem in some special cases.