一個馬可夫鏈的特徵值問題及其應用

Abstract

在這篇論文中我們探討一個具有兩個變量 $lambda,w$ 的方程組 $sum_{y in S}p(x,y)exp ig(h(y)-lambda+w(y) ig) = exp(w(x))$, 其中 $p$ 是一個狀態空間為 $mathbb Z^d$ 的馬可夫鏈的轉移機率, 且不論從任何狀態出發, $p$ 只會轉移至有限多個狀態. 當 $h equiv 0$, $lambda =0$ 之情況下所解出的 $exp(w(x))$ 即是此轉移機率 $p$ 的調和函數. 本論文的目標旨在探討 $lambda$ 之範圍, 以及當 $lambda$ 給定時其對應之 $w$ 為何. 當 $h equiv 0$ , 且 $p$ 為一隨機漫步之轉移機率時, 我們將更進一步給出 $(lambda,w)$ 之明確表現形式.