二維結的平滑化

Abstract

在 Khovanov's theory 中，利用結的平滑化， 得到了一個chain complex, 更進一步的可以得到一個結的不變量，稱它為Khovanov's homology。 但在 Bar-Natan 教授的一篇文章中，曾用另一個方式重新解釋這個chain complex，他先不將每一個平滑化的圖，看作向量空間，反而用cobordism作為它的 differential。這是一個更抽象的chain complex,但很特別。這似乎是從一個更原始的角度來看此種chain complex。 本文描述了我們將這個方法推廣到曲面嵌入四維空間(2-knots)的一些結果及遇到的困難，其中也包括如何平滑化曲面圖和一些在 Roseman moves 間的 chain homotopy equivalence。

The Khovanov's homology is the most powerful knot invariant up to now. In [1], Prof. Bar-Natan gives a new idea to interpret the Khovanov's homology. We wonder whether we can mimic his method and apply to the 2-dimensional knots. In this article, we present some results we found, and some difficulties we encountered.