非緊緻黎曼流形上的幾何流

Abstract

本論文探討非緊流形上的幾何流的存在性與唯一性，主要關注 Ricci 流、曲線縮短流（curve shortening flow）和 Yamabe 流。

在第 II 章中，我們研究具有對稱性的 Ricci 流。我們證明在曲率衰減條件 |Rm(g(t))|<c/t 並附加某些條件下，Killing 向量場在 Ricci 流中得以保持（定理1, 2），其中唯一性在這個假設下仍然是個未解問題（近期已被解決 [Lee25]）。此外，我們給出了在初使條件為旋轉對稱的完備度量且其 warped 函數單調遞增，Ricci 流的短時間存在性（定理 3）。值得注意的是，此存在性定理不須施加任何曲率條件。

在第 III 章中，我們證明平面 R^2 上圖形曲線縮短流的唯一性，其中初始條件條件落在 L^1(R)和C_{loc}(R-K)，其中 K 為一有界子集，並且在無窮遠處快速衰減（定理 7）。雖然針對一般初始條件的存在性已經有相關研究，但目前唯一性僅在 L^{p>1}_{loc}(R) 初始條件下獲得證明。本研究在 p=1 的某些情況下證實了唯一性。

在第 IV 章中，我們證明具有非負 Ricci 曲率且局部共形平坦的完備流形的間隙定理（定理 8）。我們通過研究在不假設初始度量為的曲率有界的情況下，Yamabe 流的長時間存在性（定理 13），以獲得該間隙結果。

This thesis explores the existence and uniqueness of geometric flows on noncompact manifolds, focusing on Ricci flow, curve shortening flow, and Yamabe flow.

In Chapter II, we study the property of Ricci flow with symmetry. We confirm Killing field preservation under curvature decay |Rm(g(t))|<c/t with additional conditions (Theorems 1, 2), where the uniqueness problem of Ricci flow remains open in this scenario (Recently it has been solved by Man-Chun Lee [Lee25]). We also establish the short-time existence for Ricci flow from a complete, rotationally symmetric metric with a non-decreasing warped function, without imposing curvature conditions (Theorem 3).

In Chapter III, we prove the uniqueness of graphical curve shortening flow on R^2 for L^1(R) and C_{loc}(R-K) initial data with fast decay at infinity (Theorem 7). While the existence results for the rough initial data are known, uniqueness has been established only for L^{p>1}_{loc}(R) data. Our work provides some affirmative evidence when p=1.

In Chapter IV, we prove a gap theorem for complete locally conformally flat manifolds with nonnegative Ricci curvature (Theorem 8) by investigating the long-time solution of Yamabe flow under nonnegative Ricci curvature without assuming bounded curvature on the initial metric (Theorem 13).