質環上（弱）喬登型式的可加函數

Abstract

在本篇論文中，我們將研究兩種質環上（弱）喬登型式的可加函數。在此我們令 R 為一個質環，且 C 為其廣義中心子，而 Q_ml (R) 及 Q_ms (R) 則分別代表 R 的左邊及雙邊極大商環。 首先我們研究 R 上頭的喬登 τ 導算之結構，其中 τ 為 R 的反自同構。如果一個可加函數 δ: R → Q_ms (R) 滿足對於所有 x ∈ R 都有 δ(x^2 ) = δ(x)x^τ + xδ(x)，則我們稱其為喬登 τ 導算。另外，我們稱 x → ax^τ − xa 型式的函數為 X-內喬登 τ 導算，其中 a 是 Q_ms (R) 中的元素。在此我們證明了，當 τ 為第二型時，喬登 τ 導算的結構可被完全決定，這推廣了李秋坤教授及筆者在 2015 年的結果。定理敘述如下： • 令 R 為一個非交換的質環且 τ 為其上之反自同構。如果 τ 是第二型，則所有在 R 上頭的喬登 τ 導算皆為 X-內喬登 τ 導算。 當 τ 為第一型時，我們還有得到下面的結果： • 令 R 為一個質 GPI 環且 charR ≠ 2，並假設 τ 為其上第一型的反自同構。如果degτ 2 ≠ 2，則所有在 R 上頭的喬登 τ 導算皆為 X-內喬登 τ 導算。 接下來我們研究 R 上頭的弱喬登導算之結構。如果一個可加函數 δ: R → Q_ml (R)滿足所有 x ∈ R 都有 δ(x^2 ) − δ(x)x − xδ(x) ∈ C，則我們稱其為弱喬登導算。在此我們完整給出了弱喬登導算的結構，其中 dim_C RC > 4 的情況如下： • 令 R 為一個質環且 dim_C RC > 4，並假設 δ: R → Q_ml (R) 為一個弱喬登導算。 (i) 如果 charR ≠ 2，則 δ 是一個導算。 (ii) 如果 charR = 2，則存在一個導算 d: R → Q_ml (R) 和一個可加函數ν: R → C 使得 δ = d + ν。 另外，dim_C RC = 4 的情況也有決定出弱喬登導算的結構，但由於敘述較複雜，請讀者觀看內文的 Theorem 4.6。作為此結構定理的應用，我們推廣了 Brešar 在 1993 年的定理，其內容為關於可加函數 δ: R → RC + C 滿足對於所有 x ∈ R 都有[δ(x^2 ) − xδ(x) − δ(x)x,x] = 0 的結構。

In the dissertation, we study two kinds of additive maps of (weak) Jordan types on prime rings. Let R be a prime ring with extended centroid C, and let Q_ml (R) (resp. Q_ms (R)) denote the maximal left (resp. symmetric) ring of quotients of R. Firstly, we investigate the structure of Jordan τ-derivations of R, where τ is an anti-automorphism of R. An additive map δ: R → Q_ms (R) is called a Jordan τ-derivation if δ(x^2 ) = δ(x)x^τ + xδ(x) for all x ∈ R. A Jordan τ-derivation δ of R is called X-inner if there exists a ∈ Q_ms (R) such that δ(x) = ax^τ − xa for all x ∈ R. We completely determine Jordan τ-derivations of R when τ is of the second kind, which generalizes Lee and the author’s result in 2015 as follows. • Let R be a noncommutative prime ring with an anti-automorphism τ. If τ is of the second kind, then any Jordan τ-derivation of R is X-inner. We also get the following characterization when τ is of the first kind. • Let R be a prime GPI-ring, charR ≠ 2, and let τ be an anti-automorphism of R, which is of the first kind. If degτ 2 ≠ 2, then any Jordan τ-derivation of R is X-inner. Secondly, we study the structure of weak Jordan derivations of R. An additive map δ: R → Q_ml (R) is called a weak Jordan derivation if δ(x^2 )−δ(x)x−xδ(x) ∈ C for all x ∈ R. Here we give a complete characterization of weak Jordan derivations of R. Precisely, we prove the following. • Let R be a prime ring with dim_C RC > 4, and let δ: R → Q_ml (R) be a weak Jordan derivation. (i) If charR ≠ 2, then δ is a derivation. (ii) If charR = 2, then δ = d+ν, where d: R → Q_ml (R) is a derivation and ν: R → C is an additive map. We also give a complete characterization for the case that dim_C RC = 4 (see Theorem 4.6). The characterization can be applied to generalize Brešar’s theorem in 1993 concerning additive maps δ: R → RC + C satisfying [δ(x^2 ) − xδ(x) − δ(x)x,x] = 0 for all x ∈ R.