二階正規變化函數及其在機率上之應用

Abstract

本論文首先探討一階正規變化函數的存在性與其精確的極限函數，為了統計上之應用我們更進一 步討論廣義型的一階正規變化，在是當的假設下，其極限仍有精確的型態。當處理尾估計量之極 值理論和漸進常態之行為時，我們則考慮一個較正規變化更為精細的情形-二階正規變化。對於我 們於機率上之主要應用，我們考慮另一特殊二階正規變化的情形。並且令此函數f為某分配之尾 分布函數，即f = 1F，其中F為某分布函數。由於此種f為單調函數，當其滿足二階正規變化 時，其反函數仍有相對應等價不同指數的二階正規變化結果。 接著我們給幾個特殊二階正規變化的例子，如Log Gamma分配、Hall/Wesis類型的分 配、Stable密度函數、柯西分布等等。我們也給了一個不符合二階正規變化性質的例子， 即Pareto分配。 對於分別滿足一階及二階正規變化之尾分布，我們討論對於具有一階正規變化之尾分布其和 仍然保有一階正規變化的特性；當尾分布函數滿足特殊二階正規變化時，而兩個獨立同分配非負 隨機變數之最大值仍然保有特殊二階正規變化的性質，但這兩種情形下其指數並不一定維持不 變。 我們也討論尾經驗過程的中央極限行為與特殊二階正規變化的關係，並且利用此結果去得 到Hill過程的漸進行為。藉此我們可以得到Hill估計量漸進常態的結果，此結果可於統計上建立正 規變化尾分布之指數的信賴區間。