零強迫數在最小秩問題上的應用

Abstract

一個圖G的最小秩問題是在討論所有可決定G的實對稱方陣中最小的秩，這等同於討論這群方陣中的最大零維數M(G)。零強迫數Z(G)是指最小零強迫集的個數，可用於最小秩問題的研究。而路徑覆蓋數P(G)是指可以用來覆蓋圖G點集的最小導出路徑數。當圖G中有截點時，我們提出一個公式用小圖的零強迫數來計算原圖G的零強迫數，並且討論在某些條件下P(G)會等於Z(G)，而這條件叫做強PZ條件。 零強迫數Z(G)是M(G)已知的上界。我們提出一個更緊的上界叫窮舉零強迫數~Z(G)，也就是Z(G)≥~Z(G)≥M(G)。並且提出一個篩選過程，使得在某些特殊例子中，可以得到比窮舉零強迫數再更緊的上界。 最後，我們找到一個反例，可以用來回答一個關於零強迫數在邊上的差值問題。