決定在不可壓縮流中的旋轉體

Abstract

我們討論這個問題：在一個不可壓縮流體的流域中,我們能不能確定流體中的旋轉障礙物的位置和形狀？我們只考慮2維跟3維情況。 事實上我們只能解決部分的問題.非旋轉障礙物的確定已經在前輩的文章中完成.但旋轉的情況又更加困難,必須增加其他的條件才能確立。首先,為了簡化我們的問題,我們只考慮旋轉不變的流域。這個意思是說,我們先假設這裏的旋轉指的是繞著z軸旋轉。也就是說,確定一個繞著z軸旋轉的障礙物在繞著z軸旋轉不變的流域(例如:圓柱)中。如果我們給一個流域的邊界值f, f對時間微分不為零且f(x,t)=h(t)g(x),並增加其他保證方程有解的條件,則我們就可以確定這個旋轉中的障礙物。在本文中我們只考慮的方程式線性化的Navier-Stokes方程,若是非線性的Navier-Stokes則需要討論解的存在性及regularity等問題,這個部份由於時間的關係,尚未完全解決,故不納入論文中。

We want to study this problem: Can we determine a rotating unknown obstacle D in an incompressible fluid which is filled with a bounded domain by the velocity on the boundary of this domain? In fact, we only solve the partial problem. In dimension 3, we assume that a C2 bounded domain possess an axis paralleled with the zaxis and the domain is a circle at any horizontal plane. The unknown obstacle D rotates this axis with angular velocity $omega$ = (0, 0, 1)T . And in dimension 2, we assume that the domain is a circle, and this unknown obstacle rotates this center of this circle with angular velocity $omega$= (0, 0, 1)T . Then, we can identify the location and shape of the two unknown rotating obstacles by the velocity on the boundary of this domain.