利用邊界測量重建彈性物體中的未知物

Abstract

這篇博士論文討論的是如何重建彈性物體中未知物的形狀與位置。我們考慮以下的反問題。有一個彈性物質位於$Omega$，$Omegasubsetmathbb{R}^n$，$n=2,3$。假設這個彈性物質中有一個未知的物體位在$D$，$DsubsetsubsetOmega$，並且此未知的物體與背景已知的彈性物質有相當差異的彈性性質。那麼我們要如何重新建構這個未知物的形狀與位置？我們所使用的方法是包圍法(enclosure-type methods)。包圍法是一個只利用邊界測量來建構內部未知物的方法，它是由Ikehata最先提出的[10,12]。所以它是一個非侵入性的探測方法。利用非侵入的方法探測物體的內部是一個很重要的議題，因為它可以被當成一個安全的醫療診斷的工具。在第二章的部份，我們會在數學上解釋包圍法的想法與相關的結果。 包圍法已被應用在許多不同的數學模型中，如[14,15,16,23, 24,29,36,40]。其中一個包圍法中主要的探測工具就是複幾何光學解Complex geometrical optics (CGO) solutions。我們在這篇論文中把包圍法推廣應用在time-harmonic彈性波上。在我們所討論的數學模型中最大的困難是time-harmonic彈性波中有一個零階項。這個零階項的估計會影響我們如何去應用包圍法。我們可以參考這篇survey paper [40]。在第三章及第四章中，我們分別討論兩種不同的未知物：可滲透的未知物與不可滲透的未知物。在第三章中我們只考慮二維情形，並採用CGO solutions with complex polynomial phases作為主要的探測工具。關於第三章可滲透的情形，先前一些文章也有討論過類似的問題，如[23,29]。在[23,29]中作者們給了一些邊界平滑性的假設。在這一章中，我們修改並推廣[29]中的做法，在二維的情形下將邊界的平滑性從Lipschitz降為連續。在第四章不可滲透的情形中，二維跟三維的情形都有考慮進去。在第四章中三維的情形下，我們採用了CGO solutions with linear phases作為主要探測工具。這個探測工具只能探測出未知物的convex hull。