利用微擾法計算潰壩洪水問題

Abstract

近來由於氣候變遷，使得極端降雨事件增加；水庫、防砂壩壩體的安全也受到威脅。在水利工程中，潰壩的研究一直是熱門的問題。潰壩的問題涵蓋許多不同的領域，包含泥砂運動力學、地貌水利學、渠道水力學…等，相當複雜。研究中常以物理和數學模式來模擬，並求得潰壩以後水流的變化。而早期，為了順利求得解析解，許多重要的條件都被簡化。往後幾年，許多研究開始使用微擾法來求得潰壩問題的近似解，這類的研究考慮了更多相關的條件。近年來，電腦的興盛，許多研究都使用數值模擬的方法，來解決潰壩相關的問題。數值模擬可以考慮更多的條件，並且更深入研究問題。本研究在潰壩問題中考慮許多重要的基本條件，並利用微擾法，來求得潰壩問題的近似解。 本研究包含兩個不同條件的潰壩模型，第一個是純水的模型、第二個是水和砂混合的模型。在第一個模型當中，潰壩所產生的洪水，被以點源的型式假設，瞬間傳播到下游河道中，而下游河道是沒有初始水深的傾斜定型渠道。在第二個模型中，一樣是點源洪水波的潰壩問題。與前一個模型最大的不同是加入了泥砂運動和動床的條件，下游渠道為傾斜並包含固定的初始水深。 針對兩個潰壩模型，本研究使用了奇異微擾法，來求得潰壩問題的近似解。首先將原本的控制方程式無因次化，取得微小的微擾參數，計算領導階層的方程式，得到外部解。為了計算出波前端的細部解，將原本的變數重新定義後帶回原方程式，再求解領導階層的方程式，最後計算出內部解。最後將外部解和內部解結合，並扣除共同項，得到最後的答案。 在第一個部分，我們得到水深和速度的變化，而不同型式摩擦力的結果，也被討論。在第二個部分中，我們得到水深、速度、泥砂濃度和泥砂層的變化，其中發現泥砂層受水流的影響不大，很難發現其變化，但是我們發現到水波和底床變化之間有著延遲的現象。最後，模式的適用性與準確度，需和實驗做結合，係未來研究的方向。

This thesis attempts to investigate the dam-break problem. We construct two models to approach the problems with different conditions in this study. The first one is the clear water model, and the second one is the water and sediment mixture model. The shallow water equations and Manning’s formula are used in the first model. The initial state is that a point source floods released from dam-break. And the wave propagates downstream in a dry sloping channel. We derive the solutions of the governing equations using the method of matched asymptotic expansions. The results are compared with the other model with different friction slope formulas. The comparison between the model and others shows good agreement. The flow-sediment continuity and momentum equations, sediment discharge and Manning’s formulas are used in the second model. The initial state is similar to that in the clear water model. But in the second proposed model, there exists some initial flow depth downstream of the dam and the channel bed is sediment-laden. When the flood wave passes to the downstream, the sediment layer might be subject to souring. As such, sediment concentrations in the flood wave will increase. We also use the matched asymptotic expansions method to solve the governing equations in the second proposed model. The variation of the sediment layer might be of smaller order of magnitude compared with that of the water depth. Nevertheless, results demonstrate that the spatial lag exists between the flood wave and the sediment layer. The effects of the various conditions are discussed. The results show that the channel slope and sediment diameter are two of the most important parameters in the second proposed model.