有限正交群的不變多項式

Abstract

令 $Bbb F_q$ 是有 $q$ 個元素的 Galois 體, $Q_n$ 是 $Bbb F_q^n$ 上的非退化二次型且 $O_n(Bbb F_q)$ 是由 $Q_n$ 定義的正交群。 令 $O_n(Bbb F_q)$ 線性地作用於多項式環 $Bbb F_q[x_1,x_2,dots,x_n]$ 上。 在本論文中, 我們將確切地 找出 $O_n(Bbb F_q)$ 的不變子環的生成元及其關係, 並且證明此不變子環是唯一分解環及完全交。

Let $Bbb F_q$ be the Galois field with $q$ elements, $Q_n$ a non-degenerated quadratic form on $Bbb F_q^n$, and $O_n(Bbb F_q)$ the orthogonal group defined by $Q_n$. Let $O_n(Bbb F_q)$ act linearly on the polynomial ring $Bbb F_q[x_1,x_2,dots,x_n]$. In this paper, we will find explicit generators and relations for the ring of invariants of $O_n(Bbb F_q)$, and prove that it is a UFD and a complete intersection.