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  1. NTU Theses and Dissertations Repository
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  3. 數學系
請用此 Handle URI 來引用此文件: http://tdr.lib.ntu.edu.tw/jspui/handle/123456789/54155
標題: 半直積群上的Noether問題
Noether's Problem on Semidirect Product Group
作者: Shang Huang
黃玄
指導教授: 朱樺(Huah Chu)
關鍵字: Noether問題,有理化問題,逆Galois問題,半直積群,乘法群作用,
Rationality problem,The inverse Galois problem,Semidirect product group,Multiplicative group action,
出版年 : 2015
學位: 碩士
摘要: 令K為一體,G為有限群。
定義群$G$作用於(acts on)有理函數體L = K(x_{sigma} : sigma in G)上,
此處 au cdot x_{sigma} = x_{ ausigma}, forall au, sigma in G。
令K(G) = L^{G} = { frac{f}{g} in L : sigma(frac{f}{g}) = frac{f}{g}, forall sigma in G }
為此作用(action)的固定體(fixed field)。
Noether問題就是要決定K(G)在K之上是否為有理(rational)的(=purely transcendental, 純超越的。)
考慮兩循環群(cyclic group)C_m, C_n的半直積群G = C_m
times C_n.
目前我們已知若mathbb{Z}[zeta_n]為唯一分解整環(unique factorization domain),
且K包含足夠的單位根,則K(G)是有理的。
但尚未有人給出一對質數p, q的反例,使得mathbb{C}(C_p
times C_q)為非有理的。
本文給出K(C_m
times C_n)為有理的必要條件。
Let $K$ be a field, $G$ a finite group.
Let $G$ act on function field $L = K(x_{sigma} : sigma in G)$ by $ au cdot x_{sigma} = x_{ ausigma}$ for any $sigma, au in G$.
Denote the fixed field of the action by $K(G) = L^{G} = { frac{f}{g} in L : sigma(frac{f}{g}) = frac{f}{g}, forall sigma in G }$.
Noether's problem asks whether $K(G)$ is rational (purely transcendental) over $K$.
It is known that if $G = C_m
times C_n is semidirect product of cyclic groups C_m, C_n with mathbb{Z}[zeta_n] a unique factorization domain, and K contains an eth primitive root of unity, where e is the exponent of G. Then K(G) is rational over K.
But it is still an open question whether there exists prime pair p, q such that mathbb{C}(C_p
times C_q) is not rational over mathbb{C}.
In this paper, we show that, under some conditions, K(C_m
times C_n) is rational over K.
URI: http://tdr.lib.ntu.edu.tw/jspui/handle/123456789/54155
全文授權: 有償授權
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