p-模特徵的可提性

Abstract

令 G 為一有限子群，p 為 |G| 的一個質因數，並令 G_p' := {g 屬於 G : g 的階 (order) 與 p 互質 }。如果 φ 是一個簡單 p-模特徵 (simple p-modular character)，並且存在一個簡單複特徵 (simple complex character) χ 以及正整數 N，使得對於所有 G_p'中的元素 g，χ(g) = Nφ(g)，則我們說 φ 具有幾乎可提性。上述情況中若 N = 1，則我們說 φ 具有可提性。 如果 G 的每個簡單 p-模特徵都具可提性，或至少存在一個 G 的簡單 p-模特徵不是幾乎可提的，則我們會說 G 具有 (L, p)-性質。而我們會說 G 具有 (L', p)-性質，如果 G 的每個複特徵 χ 都滿足以下命題：若存在正整數 N 以及 G 的簡單 p-模特徵 φ，使得 χ 限制在 G_p' 上時與 Nφ 相等，則 N = 1。 在本文中，我們會發現若 G 具有 (L', p)-性質，則 G 亦有 (L, p)-性質。並且我們會證明當 n ≦ 3 且 q > 1 為一質數的冪次時，對於任意質數 p，矩陣群 GL(n, q) 以及 SL(n, q) 皆有 (L', p)-性質。

Let G be a finite group, and fix p a prime divisor of |G|. Denote G_p' as the set of p-regular elements of G. A simple p-modular character φ of G is said to be almost liftable if there exists a simple complex character χ of G such that χ = Nφ on G_p' for some positive integer N. Moreover if N = 1, φ is said to be liftable. We say that G has the (L, p)-property if either there exists a simple p-modular character which is not almost liftable, or all the simple p-modular characters are liftable; and G is said to have the (L', p)-property if whenever χ is a simple complex character of G and χ = Nφ on G_p' for some simple p-modular character φ, then we have N = 1. In this thesis, we observe that the (L', p)-property of G implies the (L, p)-property of G, and show that when n = 2, 3, the general linear groups GL(n, q) and the special linear groups SL(n, q) have the (L', p)-property for any prime p and any prime power q.