利用NewC Scheme與伴隨狀態法檢定一維河川參數之研究

Abstract

利用數值模式求解de Saint-Venant微分方程式模擬一維河川水理演算時，時常在超臨界流與亞臨界流交界的跨臨界流(transcritical flow)區發生數值不穩定或不收斂的問題。本研究引進可以數值穩定模擬跨臨界流河川變量流的NewC法。NewC法採用水位在半節點、流量在整節點評估的交錯網格點差分配置，利用隱式有限差分法離散，由連續方程式獲得半節點水位以兩側流量表示的方程式，代入簡化「位變加速度項」(convective acceleration)的動量方程式，得到三個整節點流量的聯立方程組，以上、下游各一個流量邊界條件，先求解各整數網格點的流量，在代回各連續方程式差分式求解水位；迭代非線性係數，和試誤流量邊界條件推估的水位邊界條件。相較於其他可以跨臨界流模擬河川變量流的數值模式，NewC算式除了穩定性的優勢外，不需計算福祿數、迭代決定模擬條件，計算效率亦高。 應用數值模式於天然河川演算變量流時，因為初始條件、邊界條件、側入流量條件、包含微小損失的河床曼寧糙度係數參數等因素均含不確定誤差，造成模擬結果與觀測值的差異，且隨著模擬時間增加，此差異可能持續增加。本研究假設模式僅包含參數不確定性，由de Saint-Venant控制方程式導出對應的伴隨狀態方程式，利用最小化模擬水位與觀測水位差異平方和目標函數的方式，檢定模式參數。利用原始方程式時間正向積分，求解同化窗(assimilation windows)時段內的水位、流量狀態變數；再利用伴隨方程式時間逆向積分，求解同化窗時段內的伴隨狀態變數，並且計算目標函數對於參數的梯度。最後，以牛頓法和擬牛頓法，求解使目標函數最佳化的參數。 利用兩組已知曼寧糙度係數參數的數值模擬的結果；假設不同的水位測站位置，擷取水位站的水位「觀測時間序列」；採用不同的參數分區策略；共組成十一個觀測系統模擬試驗(OSSE)，利用上述數值模式、伴隨狀態法梯度模式演算，再以牛頓法與擬牛頓法算式最佳化推估參數；比較反演得到的參數和真實參數，說明參數檢定的收斂效率與限制。

Using a hydrodynamic numerical model that solves De Saint-Vanent equations for one-dimension free-surface flow often encounters acutely numerical vibration in transcritical flow that is between supercritical and subcritical flow causing model to be unstable. In this research, citing NewC scheme which could simulate the unsteady transcritical flow without numerical instability. NewC scheme applies staggered grids, finite difference method, and reduction of convective acceleration to solve the tri-diagonal coefficient matrix of discharge with boundary conditions on each end, then transfer to water level. NewC scheme take advantage of stability, high efficiency, and doesn’t have to compute Frouds number. Applying numerical model to simulate the unsteady flow would always meet the error between computing result and observation because of uncertainties about initial condition, boundary condition or minor loss of Manning roughness coefficient. The error would grow with time increasing. In this research, we assume that there is only parameter uncertainty in model, then derive the adjoint state equations and use the minimum sum of error square to identify the parameters of model. We use two set of numerical result to be the observation data, then take 11 set of observing system simulating experiments by using adjoint state method, Newton’s method, and quasi-Newton’s method to compare and discuss the results of parameter identification.