用蒙地卡羅最小平方法評價美式移動平均選擇權

Abstract

中文摘要 本篇論文是使用Longstaff和Schwartz(2001)所發展之蒙地卡羅最小平方法(Least-Square Monte-Carlo simulation approach, LSM)來估計美移動平均選擇權之價值。蒙地卡羅模擬法以往無法解決美式選擇權提前履約的問題，因不知模擬出來的股價路徑最佳履約時點，而Longstaff和Schwartz提出的LSM演算法剛好可以有效選出每股價路徑的最佳履約點，解決蒙地卡羅評價美式選擇權的問題。 以美式賣權為例，LSM是利用蒙地卡羅法模擬一段期間每日(j)股票價格(Xj)之可能路徑,再依據選擇權契約所訂定的履約價格(K),算出每個股票價格路徑上每日之收益(Payoff，Max(Xj－K, 0))。然後從到期日開始，以到期日之全部股價路徑之收益诙因變項值，以到期昨日之股價為自變項值，做最小平方法簡單迴歸，求出β0、β1之(ｘj-1, E(Yj｜X=ｘj-1))簡單迴歸線的截距和斜率。再求出因變項平均值作為與當日收益價值作比較，若收益大於因變項平均值，則履約；反之，則不履約。再推往至前一日，重覆上述步驟，若每一條股價路徑有提前履約，則提前履約，直到契約成立日。再將每一條股價路徑中的最佳約日的收益，折現到契約成立日再進行算術平均，即可估算出美式賣權的價值 由於現今金融商品不斷創新，且日益複雜。而蒙地卡羅模擬法可價移動平均選擇權。但要評價美式移動平圴選擇權，須取前期股價，和移動平均珼做自變項變數，且為了讓消弭相關性，用Laguerre Polynomial模型使變數間彼此成正交。為了求證LSM演算法估計的準確性，用Dai(1999)的AuxiliaryState Variables和Ritchken & Trevor(1999)改良CRR Tree模丑來評價美式移動平均選擇權，結果可發現LSM和CRR所估計出來的值，差異都非常小。可觀察到LSM演算法實在非常強，可以評價如此複雜的金融商品。 本篇論文亦在以美式移動平均選擇權評價為例，進行探討如仃使LSM演算法估計更為準確。分為兩個部分，一個是迴歸自變項變數個數選取，另一是如何選擇較佳的自變數模型。在自變項變數個數選取上，至K = 2時，就非常準確，與K = 3所估計的值幾乎無差異。在選擇自變數模型上，比較了Monomials和Laguerre Polynomials，發現沒有做正交處理的Monomials模型，其估計出來的值和CRR與用Laguerre Polynomials做正交處理的LSM估計值，幾乎也無差異，這是一個較特別和驚訝的發現。若這發現是正確的，則用LSM演算法評價複雜式金融商品，都不用再對自變項變數間做正交處理了。